エルミート 行列。 エルミート行列とユニタリ行列

98
これ、していいの? って思う人もいると思いますが、 していいです 左辺のブラベクトルとケットベクトルの間に行列 がはさまっているが ,これは行列 がケットベクトルを変換したものとブラベクトルとの内積を取るという意味だ. 以前に運動量表示について詳しく説明しておいたのはこのための伏線である. ブラベクトルは単なる横一列のベクトル ,ケットベクトルは縦一列のベクトルであると考えればいい. んで、この自然な要求を保証するにあたって、 当たり前なんですけど、 そういう『操作』が必要になったわけです
エルミート行列には次のような性質がある イメージしにくいかもしれないんで、 具体的なやつを求めてみましょうか
まとめると、『複素数を計算で使う』けど、 『計算結果は実数であってほしい』時、 エルミート演算子ってのが出てきます といっても「行列」であることに変わりはないので、 『演算子だ』ってことを強調してるだけ、 という風に考えてください
エルミート演算子 んで肝心の「エルミート演算子」ですが、 これは、エルミート共役という操作を行っても 『同じになる行列』のことで、 「エルミート共役」とはまた違った概念です 演算子 が関数 に作用した結果の関数と との内積を取るという意味であって ,どちらの表現も同じ内容を表していることが分かるだろう. これはシュレーディンガー方程式が終わった後、 「時間発展」の説明で使うので覚えておきましょう
ケットベクトルの成分が , と表されるとしたら ,ブラベクトルの成分は , であるというだけのことで ,成分に分けて書けば結局 ,左辺は次のような計算をしていることになる. この状況をベクトル表現で解釈し直すとどのようになるだろうか. これにより、エルミート行列 A の全てのが実数であり、 A が n 個の線型独立なを持つことがわかる 結論としては、 「1行」のベクトルのことを『ブラ-ベクトル』と呼び、 「1列」のベクトルのことを『ケット-ベクトル』と言います
と言う問題です。 ・エルミート行列の固有値に対する固有ベクトルは、正規直交基底をなすように取れる。 つまり ,行列の固有値を物理量に対応させて理論を構築してやればいいわけだ. ・実対称行列の固有値に対する固有ベクトルは、正規直交基底をなすように取れる。 全ての成分が実数であるような行列がエルミートであるのは、それが(主対角線に関して全ての成分が対称)となるときであり、かつそのときに限る。 歪エルミート行列の実数倍と、歪エルミート行列の和はまた歪エルミートである。 どちらにしろ ,論理は自由自在に操れた方がいいに決まっている. エルミート行列の名はに因む。 どちらにしろ ,論理は自由自在に操れた方がいいに決まっている. そして、準備はここまで。 理屈は分かるかな ?逆にそういう行列があればエルミート行列だと思っていい. 重要な性質• この記事のようにエルミート行列の固有値は実数であることがわかります。