デルタ 関数 積分。 デルタ関数と公式

上の二つの式を見比べると ,要するに ,次のような関係が成り立っていると結論できそうである. フーリエ変換した結果の式の変数が 0 になるというのだから ,具体的にはこうであるに違いない. 先ほどから「デルタ関数は偶関数である」とは言わずに「偶関数に似た性質を持つ」と言っているのはそういう事情があるからである. したがって、これは普通にいう関数ではないが、ディラックは物理学的な直観から、実軸上の連続関数 x に対し、 という公式や、また、デルタ関数の微分を考え、 などの公式を導き、積分因子としては積分の値が決まるものとし、しかも、いろいろな物理現象の計算に有効に使った。

ならば ,この式が を定義する式として使えるのではないだろうか. この右辺についてはデルタ関数の基本的な性質から ,どうなるかすぐに分かるだろう. 他の公式の導出など詳細な説明は,「ルベーグ積分」の応用編で述べます。

私が採用しているフーリエ変換の流儀では「 1 のフーリエ変換は になる」と表現できるだろう. いかにも倍率の「分布」を設定して関数に重ね合わせることで ,それに応じた値を関数から取り出しているような感じではないか. これが任意の関数 について成り立つことから ,カッコ内も 0 だと言えて ,先ほど書いた性質が導かれるのである. しかしこうやって超関数のフーリエ変換を通常のフーリエ変換とは異なるものとして定義して ,特別に許されているものだということをはっきりさせておけば安心できるだろう. 厳密には,超関数として定義します。

また,積分はルベーグ積分として考えます。

しかし無限大というのは数値ではなくて ,限りなく大きくなる極限を考えるときのイメージに過ぎないので ,これを定義として使うのは数学的にふさわしくない. すなわち高さが0でない領域の幅はほぼ0で、高さyが無限に高いとされる性質を持つ関数です(換言するなら、面積を1に保ったまま幅を細くしその分高かさを無限に増した関数)。

デルタ関数の中に関数をつっこむ 次に紹介する性質は今の話の応用である. 原点以外のところへずらす デルタ関数の持つ色々な性質を挙げて行く事にしよう. 一般的に,f x の方は局所可積分な関数であれはいいのです。

(そうしないと前述の同型対応とならない。

何回でも微分できて , で素早く 0 に収束するような関数を とする. すると ,次のような形で表せば良いだろうか ? しかしこれは少しだけ違うのである. 今度も技巧的になるが ,途中にいちいち解説を入れなくても何とか分かるだろう. のところでだけ無限大となり ,それ以外のところでは 0 である. これがどういうことなのか確かめたいのだが ,何しろ ,理工系向けの教科書ではこの辺りの証明が省略されているものばかりなのだ. の場合にはこれらの議論は意味を成さないので , 4 式のように を分母に持ってきて ,「ただし 」とでも書いておけば , に 0 を入れたりする間違いをかなり防げるだろう. 教科書によっては「区分的に滑らか」という条件が書かれていないものもあるが ,敢えて書かなかっただけで本当は入れる必要があるのではないかと私は思う. つまり , 以外の区間では となっているのだと言えるだろう. 原点以外では 0 のくせして ,まるで奇関数のような性質を持つのである. おそらく ,初歩的な物理や工学で出てくる関数を使っている限りではそのような問題は気にしなくても大丈夫なのだろう. しかも「0 を含む区間で積分すると有限の値になる」という性質もまだ言い表せていない. それで最初の積分と最後の積分を比較すれば次の式が成り立っていると言えるだろう. 多くの教科書では以上のことがフーリエ変換が成り立つための十分条件であるように読み取れるのだが ,「絶対可積分は必要条件である」かのように書かれている資料も見つかったので私は混乱している. 途中で無限大になる点があるような関数を使っていいのかどうかはここでははっきりさせていないが ,そういうものは積分すると発散する可能性がぐんと高まるわけで ,計算してみてそうだったなら確実にアウトだとは言えるだろう. しかしこの式は でも正しいだろうか ?デルタ関数は変数の正負にかかわらず負になることはないのだから ,右辺は負になり ,左辺は正になる. 超関数のフーリエ変換 今の説明によって ,デルタ関数だけでなく , という普通の関数も超関数の一種として考えられることが分かった. 例えばデルタ関数の場合にパーセバルの等式を当てはめてみると となるわけだが ,右辺は無限大に発散してしまうし ,左辺のようなデルタ関数の 2 乗を含む計算も定義されていないので計算不能だ. 実は左右対称ではない形の関数の極限としてのデルタ関数を考えることもできるのだが ,その場合でも 1 式と同じ性質を持つので結局は同じ結論にたどり着くことになる. こんな調子で ,何回微分しても符号が変わるだけで似たような性質があることが導かれるのである. 上の定義のところに ,常に 1 であるような関数 を当てはめてみる. したがって,f x を超関数と呼ぶ場合もあります (あまり推奨はできない)が,このf x は記号とみなすべきものでいわゆる関数ではありません。

フーリエ変換が使える条件 フーリエ変換はフーリエ級数の周期を無限大に引き伸ばして作った概念だったから ,当てはめて使える関数も同じような性質のものだろうと考えたくなる. この式と 1 式とで引き算してやれば次の式が成り立つ. つまり ,あらゆる波長の波が均等に混じり合ったものがデルタ関数であるというようなイメージである. ということは , が超関数だとすると ,次のような積分もまた発散しないで有限の値を持つわけだ. デルタ関数とは デルタ関数とは ,空間の一点にだけ存在する粒子を数式中に表現したいためにディラックによって発明された関数である. しかし という形を使うと になるところでデルタ関数の能力が発揮されることになるので , が特別な点になる. また、Cは、したときに現れる係数をあらわします。

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本章では、畳み込み積分の物理的な意味についてご紹介いたします 仮に区分的に滑らかで絶対可積分でありさえすればフーリエ変換が使えるというのなら ,関数の途中に無限大になるところが幾つかあっても問題ないということだろうか ?だとしたらこれはフーリエ級数の場合とは大きな違いである. は 0 になってはいけないので , 軸にギリギリ接するような曲線を持つ関数は 5 式には当てはめられない. これと同様に という関係が成り立っているのだが ,これは別に偶関数の性質を持ち出さなくても 1 式で とすればすぐに分かることだろう. 今話したような疑問 ,すなわち ,絶対可積分であることとフーリエ変換可能であることの関係がどうなっているのかについては実際の証明を見てみれば解決するのだろう. しかしデルタ関数をフーリエ変換することについては問題があると教科書にはっきり書かれており ,デルタ関数のような超関数をフーリエ変換することを正当化するための処方はしっかり紹介されていたりするのである. 下から 2 番目の式は積分変数が になっているが ,これを代わりに でも でも好きな記号を使って書き換えても結果は同じなわけで ,結局 で書き換えてみたのが最後の式である. この結果は !つい先ほどデルタ関数の近似表現として挙げた中に同じ式があったではないか ! ?というわけで , を考えれば ,それはデルタ関数である. しかし雰囲気をつかみやすいようにいつもの変数に書き換えよう. フーリエ逆変換の式にフーリエ変換の式を代入したものは次のようになるのだった. 絶対可積分というのは関数の絶対値を取って積分したものが発散しないということであり ,次のように書かれる. 普通の などのグラフと比べてしまうと逆のことが起きているイメージなのだが ,こう考えないと辻褄が合わないので受け入れるしかない. どんな形の関数 を使っても ,デルタ関数と掛け合わせて積分すると , での の値だけが拾われて出てくるとするのである. これらはどちらもフーリエ変換が可能な条件には当てはまっていないのだが ,なぜか形式上は問題なくフーリエ変換できているように見えるのだった. 任意の関数 とともに積分すると ,なぜか における の微分値にマイナスを掛けたものが放り出されてくるのである. そして右辺は発散しないで有限の値を持つということもすでに言えている. ) この式の積分順序を交換して・・・ ,この操作には別に何の問題もないはずだ. この時点で既に ,以前とは違ったことが起こり始めているのが分かるはずだ.
何かすごそうな関係に思えるのだが , 3 式の の部分にそのままデルタ関数を当てはめて ,あとは偶関数的な性質を使って見た目を整えてみただけのものだ. 3 つのデルタ関数の積であることを強調するために と書く場合もあるようだ. そのようなものを無邪気にフーリエ変換の公式に当てはめてみて ,問題なく式が成り立つことが示せたから受け入れて使ってしまおうという態度では節操がなさすぎると思うのだ. 収束条件:関数Fn x ,f x が局所可積分関数であり,収束は一様収束,平均収束すること デルタ関数のフーリエ変換関連ページ 当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです
先ほどはフーリエ変換が可能であることの条件として絶対可積分というのが出てきたが ,これとは別の重要な条件として「 2 乗可積分」というものがある. 同様な過程を繰り返すことにより ,逆変換についても次のことが言える. フーリエ解析はあとで説明するつもりなので ,ここでは別の方法でこの関係が成り立っていそうなことを説明しておこう. 関数はベクトルの一種であって ,線形代数で議論できる対象であるという話を少し前から時々話してきた. 理論上の話だが ,ある一点において密度は無限大 ,しかしその密度を積分して全体量を求めると有限量であるという性質が欲しかったのである. このように ,超関数というのは普通の関数の多くもその中に含むような広い概念になっている. さらに 5 式の応用として次のようなものが有名である. この S上の連続線形汎関数を 緩増加超関数といい,ざっくりと,「フーリエ変換が可能な関数の集合」 となります あっけない話だろう ?単純すぎて ,普通の関数でさえ「超関数」に含まれてしまいそうだ. 証明は省略するが ,そのような関数をフーリエ変換したものも ,同様な性質を持つらしい. 偶関数に似た性質 1 式の形で定義されたデルタ関数は偶関数に似た次のような性質を持つ. 前にデルタ関数が偶関数的であると説明したときと同じ手順を使う. すると次のように ,デルタ関数を積分すると有限値である 1 になることが導かれる. の微分は となるので , 7 式の右辺にあったマイナスが相殺されているのである. 2乗可積分 超関数のフーリエ変換は ,通常のフーリエ変換の性質をほとんど同じように満たすことが言える. しかしデルタ関数の定義を使えば次のような計算は問題なく成り立つわけである. 4 式における定数 はどんな速度で原点をすり抜けるかを表していると言える. ところで 2 式は指数関数の肩の符号を変えたとしても結果は変わらないので次のように表現されることもある. シュレーディンガー方程式のグリーン関数 [物理のかぎしっぽ] と極限の順序を入れ替えてもいいのは「一様収束」「範囲が有限」という2つの条件がありましたが、 今回は、一様収束はしても、範囲が無限だから、と極限は順序を入れ替えたら値が変わりうるわけですね
ところで ,デルタ関数の中につっこむことの出来る には制限がある. 変数のスケールを変える 関数 だったものを にすると , の場合にはグラフは横に押し潰された形になる. どんな関数なら使えるかという大体のイメージとしては ,無限遠で急速に 0 になることである. それに , は絶対可積分な関数でもないから公式を当てはめるわけにも行かない. 軸に触れるとしたら必ず交差する形になっているグラフの関数であるべきである. 積分表示 複素フーリエ解析の知識を使うと ,デルタ関数を次のように表せることが分かる. 今回の 5 式においては ,その点における の微分が同じ意味を持っているのである. 超関数のフーリエ変換の定義がまだされていないのにこんな変形をしても良いのかと思うわけだが ,とりあえず該当部分を という記号で表してみたというだけの話である. この式の左辺の被積分関数内の の符号を入れ替えても全体は変化しないので , となり ,これと 7 式を足し合わせることで ,次の関係が得られる. 幾つかそれらしいことを論じている資料を見付けはしたのだが ,読んでみても納得出来ないことばかりであり ,物理数学とは関係のない世界に分け入って来てしまった感がある. デルタ関数の 2 乗の積分がどうなるかについては定義されていないそうなので ,この辺りのことを論じるのは慎重にならないといけないのだろうと考えている. というわけで矛盾が起こるというほどの話でもないが ,成り立つとも言えないわけだ. この右辺がどうなるかは ,先ほどデルタ関数の微分の性質が分かったばかりなので当てはめてみれば簡単に分かる. そのような関数についてもフーリエ変換が成り立つのかどうかの議論は簡単ではない気がする. この見た目はデルタ関数のフーリエ変換をしたのと全く同じであり ,便宜上 ,「デルタ関数をフーリエ変換した結果は である」と言ってしまっても良さそうだ. デルタ関数の 1 階微分は奇関数的である デルタ関数を 1 階微分したものの性質をもう少し調べてみよう. というわけで , 1 式や 2 式では無限積分を使っているが ,積分区間に を含んでいさえすれば同じ形の式が成り立っているとして良い. 関連項目 [ ]• このような条件を満たすものは他に幾つでも考えることができる. 横から押し潰された結果としてなぜか高さが縮むことを表しているように思える. そして関数がこの「2 乗可積分の条件」を満たしていれば ,そのベクトル空間に問題なく内積が定義できるらしい. 実は先ほどの変数変換は の場合には次のように計算しなくてはならないのである. それでこの式を超関数 のフーリエ逆変換 の定義式として採用しよう. なぜそのような点を気にしているかというと ,途中で無限大になるような関数を許していいのなら ,デルタ関数をフーリエ変換することにも何ら問題がなさそうに思えてきてしまうからだ. 関数の内積がフーリエ変換の前後でどうなるかという公式もあったが ,これについては形式的には成り立っているようだ. デルタ関数は積分してこそ意味があり ,いずれ積分されなければならない運命にあるのだから ,この形になっていれば積分しようがしまいが 0 であるのと同じだという意味である. 先ほどの超関数の説明で ,「何回でも微分できて , で素早く 0 に収束するような関数」 というものを考えた. このような式を見かけたときに正体が分からなくて驚いたりしないように書いておいた. 近似表現 デルタ関数を通常の関数で近似することも行われる. しかしそれについてもはっきり書かれている教科書は見つけ出せなかった. このようなデルタ関数の積を毎回書くのは長ったらしくて面倒なので ,変数部分をベクトルにした というものを使って略して書くことが多い. 要するにこれはデルタ関数の定義と同じ形であるので ,1 の逆変換はデルタ関数だと結論できる. デルタ関数の微分 デルタ関数を微分したものはどんな性質を持つだろうか ?次のような積分を考えて部分積分をしてみると面白いことが導かれる. 超関数とは何か このように ,デルタ関数についてのフーリエ変換も逆変換も特に問題はなさそうだ. 極限を使って でデルタ関数に近付くような関数列を考えるのである. これを導くには 2 式の を に変数変換してやればいい. なぜこうなるのか , 4 式を知っていれば大体察しが付くだろう. はどんな形になるだろうか ? の形にも依るが , となるような点 は複数あるかも知れず ,その全ての点で は無限大になるのだろうと予想が付く. ほとんどの理工系向けの教科書がこの部分を詳しく書いてくれていないからだ. デルタ関数の本質は積分したときの性質にこそあり ,本当に左右対称であるのかどうかといったイメージの差は積分したときに消えてしまうのである. 別の流儀の教科書では「 1 のフーリエ変換はデルタ関数になる」と書かれていることがあるので ,そういう記憶に残りやすいフレーズに流されて勘違いをしてしまわないように敢えて書いておくことにした. まず 1 式の の代わりに を使ってやると ,次のことが言える. では 2 階微分するとどうなるだろう ?同じ話を繰り返せばいい. 粒子が 3 次元空間の一点 に存在することを表したい場合には次のように 3 つのデルタ関数を組み合わせて使えばよい. 超関数は英語では「distribution」と呼ばれており ,「分布」という意味である. 計算のために仮の変数として を使ったが ,記号の種類はどうでもいい. 具体例で試してみる 今導入した方法で本当にデルタ関数のフーリエ変換が定義できるのかを試してみよう. とにかく、水平な直線ということで納得しましょう またトップレベルドメイン直下はブログ型コンテンツになっておりブログ形式のコンテンツは数学以外のテーマを主に扱います
この条件が入っていないと ,理工系では決して扱う必要のないようなひねくれた関数が議論に上ってくるだろう. この性質はちゃんと数式を使って論理的に導き出すことができる. これらは で積分すると常に 1 になるし , では は無限大に近付くし ,それ以外の点では 0 に近付く. では「ノルムが定義されていればどんな組み合わせの内積も必ず有限になるか」と聞かれると ,「そんな気はするし ,そう受け入れていたけどそう言えばじっくり考えたことはなかったな」という感じである. デルタ関数のフーリエ変換 デルタ関数は普通の意味での関数ではないのでフーリエ変換の公式に当てはめるわけには行かない. 「絶対可積分」だが「2 乗可積分」でない関数もあるし ,「2 乗可積分」だが「絶対可積分」でない関数もある. この式はあたかも , をフーリエ逆変換しているかのような形をしているではないか. なぜなら ,デルタ関数を微分したものは 以外ではデルタ関数に良く似ていることが先ほど示されたので ,無限の彼方では 0 だからである. 次の公式もびっくりするようなものだが ,今の式で , とすれば確かにこうなりそうだ. それでこの式のことを「 デルタ関数のフーリエ積分表示」と呼ぶ. 散乱をあらわすブラケット は、散乱振幅 を使って、次のように書くことができることは、以前お話しました」 「 は、エネルギー(1次元)と運動量(3次元)を含む4元運動量のであることを示すために、 の頭に4という数字を付けています 3次元のデルタ関数 点状の粒子が に存在することを表すのに を使うと説明したが ,これでは 軸上の 1 次元でのことしか表せない. 教科書では などのようにさらっと出てくることがあるが ,そういう式変形をするための特別な技などがあるわけではないので ,どうやって導き出したのかと悩む必要はない. これを最初の左辺と比較すれば , が と同じ機能を持っていることが分かる. それよりもずっと早く 0 に収束するような関数でないといけないだろう. 「始状態のブラケットが計算できたところで、次に、散乱をあらわすブラケットを計算してみましょう
この2番目と3番目の式の積分が 1 になることを確認するのはちょっとしたテクニックが要って説明が長くなるので略させてもらうことにする. さらに ,どんな関数を使っても における値 しか拾ってこないことから , 以外の区間での の値はデルタ関数によって無効化されていることになる. 「絶対可積分」と「2 乗可積分」とでどちらが厳しい条件であるかというのは言えない. 残念ながら ,なぜそう言えるのかという納得の行く証明が書かれている書物を私はまだ見つけられないでいる. しかしだからと言って「 を逆変換するとデルタ関数になる」と言ってしまうのは飛躍であろう. 普通は 1 式を使って定義するものであるし ,左右対称のイメージを持っていた方が物理的にも自然なことが多いだろう. この積分が発散してしまわないで有限の値を持つ時 , のことを超関数だとするのである. ところで ,途中に無限大になる場所があっても積分値が有限であるような関数は普通にある. このようにすると での関数 の値 が取り出されてくるというわけである. たとえば という関数は で問題が起きてしまうが ,そこを避けて積分したとしても ,無限遠まで積分すると発散してしまう. ひょっとすると「区分的に滑らか」という条件を入れない場合には必要条件になるのかも知れない ,などと悩んでいる. 手元の教科書では ,「関数 が区分的に滑らかで ,絶対可積分ならばフーリエ変換が成り立つ」とある. その数年後の現状報告: 上の式によって自分自身との内積が有限の値になることが保証されていることになるので ,それはノルムが問題なく定義されていることに他ならないということは分かった. そんなことをしてもいいのかどうか私には良く分からないが ,公式として出回っているものをとにかく集めてまとめるという方針なので書いておいた. 積分範囲が全範囲の積分では被積分関数の積分変数の符号を変えても結果は変わらないので ,この左辺の被積分関数の を に置き換えた次の式が成り立つ. そのためにはまず ,「超関数」というのが何なのかを説明しておいた方がいい. デルタ関数の場合には元々一点のみで無限大のグラフなのだから押し潰されてもグラフの形に変わりない感じはするのだが ,次のような関係が成り立っている. ここで、散乱が起こる時間を 、散乱が起こる空間の体積を とすると、さきほどの始状態のブラケットのでは、係数 をかけました の場合はどうでしょう? このは、x軸上で粒子が発見される位置の「期待値」を表します
当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 そこで ,フーリエ変換の考えを少し押し広げて ,超関数に対してもフーリエ変換が使えるという根拠をはっきりさせておこう. しかしデルタ関数というのは通常の関数の範疇には含まれない「超関数」なのだった. さて ,この式の左辺は超関数の定義を説明した時の式と同じ形式になっている. 公式として記憶しても用はなしますが,きちんと理解するには,超関数を「汎関数」と認識(理解)したうえで,テスト関数として急減少関数を仮定していることも心に留めておく必要があります。 2番目は複素積分の手法を駆使し ,3番目はの公式を使うのである. これらを同時に表したければ次のように表しておけば良いだろう. 1 式のデルタ関数の定義では を任意の実連続関数だとしていたのだが ,そこに連続でも関数でもないデルタ関数そのものを入れてしまったことになる. 当サイトは主に物理に関する数学など、その他周辺も含めた少々ごった煮のウェブサイトです。 それで数学では関数 function ではなく超関数 distribution というものに分類されている. これを関数だと認めると ,数学での分類の上ですっきりしない部分が出てくるらしいのである. というのは ,元々 であった関数を , のように有限の値へと対応させるような を考えようというアイデアだからである. Dはこの積分の値が定まる範囲内で定めます。 。 。
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